Неравенства с одной переменной (основные понятия)

Неравенством с одним неизвестным называется неравенство, содержащий одну независимую переменную. Неровности со сменными называют иногда функциональными неровностями.

Пусть дано неравенство с одной переменной f (x)> g (x) (вместо знака «>» могут быть знаки «<», «>»). Областью определения неравенства f (x)> gt *) называется сечение областей определения функций f (x) и g (x). Решением неравенства называется любое значение переменной, при котором начальная неравенство с переменной превращается в правильную числовую неравенство. Решить неравенство с переменной означает найти все ее решения или доказать, что решений нет. Две неравенства с одной переменной называются равносильными (эквивалентными если решения этих неравенств совпадают; частности, неравенства равносильны, если они не имеют решений.

При решении неравенств пользуются следующими основными теоремами о равносильности неравенств.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное исходному.

2. Если к обеим частям неравенства f (x)> g (x) добавить (или отнять) любую функцию ф (x), то получим неравенство, равносильное начальной при условии, что области определения полученной и начальной неравенств совпадают.
3. Если обе части неравенства f (x)> g (x) умножить (или разделить) на любую функцию ф (x), которая сохраняет устойчивое знак и отлична от нуля, то при ф (х)> 0 получим неравенство, равносильное начальной , а при ф (x) <0 равносильной исходной будет неравенство противоположного знака (предполагается, что области определения полученной и начальной неравенств совпадают).