Потенциальность электростатического поля

Электростатическое полеДля доказательства потенциальности (консервативности) сил электрического поля, созданного системой покоящихся зарядов (так выбрана система отсчета), мы будем считать, что все заряды покоятся, а один очень маленький заряд движется достаточно медленно, чтобы оправдывалось название «электростатика» (правда, зарядов, меньших, чем заряд электрона не существует, или пока не обнаружено). Маленький заряд нужен для того, чтобы, во-первых, появилась сила, а во-вторых, чтобы распределение на телах зарядов, создавших электрическое поле в пространстве, не изменилось при его появлении.

В электростатике силы, действующие на любой точечный заряд q, можно представить в виде суммы векторов сил, действующих на этот заряд со стороны других точечных зарядов.

Здесь — это радиус-вектор, проведенный от заряда в точку, где находится заряд q.

Вычисление работы силы — это линейная операция. Таким образом, свойства сил взаимодействия двух точечных зарядов относятся и к взаимодействию одного заряда с множеством других зарядов.

Напомним, что работа силы, приложенной к некоторой точке тела, вычисляется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения этой точки тела. В рассматриваемом случае взаимодействия точечных зарядов сами тела являются точечными, поэтому можно не вникать в особенности точного определения работы силы (оно дается в курсе механики).

Посчитаем работу электрической силы, действующей со стороны заряда Q на заряд q, перемещающийся из точки 1 в точку 2. Эта сила «центральная», то есть направление силы совпадает с линией, проведенной от одного точечного заряда к другому, а величина силы зависит только от расстояния между точками, в которых находятся заряды.

Эта работа зависит только от начального и конечного расстояния между точечными зарядами. Действительно, любой малый участок траектории движения заряда q можно заменить новой траекторией, проходящей вдоль линии, соединяющей заряды, когда q находится в точке 1, и дугой с постоянным расстоянием между точечными зарядами, конец которой оказывается в точке 2. Работа силы на прямом участке новой траектории как раз равна работе силы на отрезке, соединяющем точки 1 и 2 (на старой траектории), а работа на участке дуги равна нулю, так как сила и перемещение на этом участке взаимно перпендикулярны.



Если траектория движения заряда q оказывается замкнутой, то суммарная работа силы равна нулю.

Свойство потенциальности (консервативности) как раз и означает, что работа сил зависит только от начального и конечного расположения точечных зарядов, и не зависит от того, по каким именно траекториям двигались заряды от начального положения к конечному.