Векторная величина

Векторная величинаВекторная физическая величина характеризуется упорядоченным набором скалярных величин одной размерности (проекций вектора). Этот набор может зависеть как от выбора начала отсчёта, так и от ориентации осей координат по отношению к телу отсчёта. Примеры векторных величин: набор координат точки в пространстве (радиус-вектор), скорость, импульс. Не только сами пространственные координаты, но и многие другие физические величины, которые характеризуются проекциями на пространственные координатные оси, например, напряженность электрического поля, удобно описывать, используя понятиевектор.
В этом разделе используется обозначение векторов символами, выделенными определенным стилем форматирования. Например, вектор скорости точки обозначается символом V, а модуль этого же вектора (то есть скаляр) обозначается символом V, проекция этого вектора на координатную ось Х обозначается так: Vx.

Свойства векторов.
Во-первых, векторные величины в физике имеют три проекции на оси координат. Нам повезло или нам приходится жить в пространстве трех измерений.
Во-вторых, эти проекции преобразуются по определённым правилам при изменении ориентации осей координат, связанных с выбранным телом отсчёта.
В-третьих, переход из одной системы отсчёта к другой системе отсчёта может приводить к изменению проекций векторов на оси координат. Правила, по которым проекции преобразуются, зависят от относительного движения систем отсчёта.

Изображение векторных величин на рисунках.
Рассмотрим на примере описания движения точки, принадлежащей телу, как изображаются векторы на рисунках. По отношению к телу отсчета, принятому за неподвижное, с которым связана система координат, все остальные тела могут занимать различные положения в пространстве, например, положение кончика носа Вини Пуха соответствует определённой точке пространства.
Во время своих путешествий Вини Пух побывал в самых разных местах: в гостях у Кролика, возле дупла с пчелами и т.д. Соответственно, кончик его носа в каждый момент времени находился в разных точках пространства. Положение точки в пространстве может быть обозначено в виде упорядоченного набора чисел (координат): (X,Y,Z). Совокупность этих трех чисел меняется со временем (четвертое число) при перемещении тела в пространстве. Зависимости каждой координаты от времени можно представить в виде таблиц или графиков. Однако гораздо удобнее связать с положением точки наглядный геометрический образ – отрезок, соединяющий рассматриваемую точку и начало координат. Положение точки пространства может быть изображено на рисунке в виде радиус-вектора. Начало радиус вектора в начале координат, а конец в месте расположения точки пространства.

Если проекция вектора на плоскость рисунка представляет собой отрезок, то он снабжается меткой – стрелочкой, которая отмечает положение конца этого отрезка. Если же вектор перпендикулярен плоскости рисунка и его проекция представляет собой точку, то в этом случае вектор изображают кружочком, в центре которого находится либо точка (кончик стрелочки, смотрящей на нас), либо крестик (символическое обозначение оперения стрелы, которое находится на противоположном от острия конце).

Кружочек с точкой обозначает вектор, направленный «на нас» от плоскости рисунка, а кружочек с крестиком обозначает вектор, направленный «от нас» за плоскость рисунка.


Операции с векторами.

1. Умножение вектора на скаляр (на число). Результат: вектор, координаты которого изменились в одинаковое число раз. Если скаляр безразмерное число, то физическая величина сохраняет свою размерность. Если скаляр размерное число, то новый вектор может соответствовать другой физической величине. Например, исходный вектор: скорость материальной точки V. Скаляр, на который производится умножение, масса материальной точки М. Результат: вектор импульса материальной точки Р = МV . Скаляр может быть положительной величиной, тогда направления векторов результата произведения и исходного вектора совпадают. Если скаляр отрицательная величина, то направление результата произведения противоположно направлению исходного вектора. При умножении на 0 результатом тоже является вектор с нулевыми проекциями.

2. Сложение векторов А и В физических величин одинаковой размерности иногда имеет физический смысл. Например, при переходе из одной системы отсчёта в другую, которая движется относительно исходной равномерно и прямолинейно, можно находить скорости точек во второй системе отсчёта. Второй пример: суммирование сил, действующих на материальную точку. Результат суммирования векторов: А + В = С : вектор С, координаты которого находятся по правилу:

Сx = Аx + Вx, Сy = Аy + Вy, Сz = Аz + Вz.

Видно, что результат сложения не зависит от того, какой из векторов первый, а какой второй.

3. Умножение вектора на вектор – скалярное произведение векторов. (А В). Результатом такого произведения является скаляр C, размерность которого определяется размерностями умножаемых векторов, а величина находится по правилу.

Эта же величина равна произведению модулей двух умножаемых друг на друга векторов, и косинуса угла между ними. В частности скалярное произведение вектора самого на себя даёт квадрат его длины. Скалярное произведение не зависит от того, какой вектор первый, а какой второй при выполнении операции такого произведения. Пример использования скалярного произведения: вычисление работы силы.

4. Умножение вектора на вектор – векторное произведение векторов. С = [А В]. Результатом такого произведения является вектор, перпендикулярный и вектору А и вектору В. Размерность вектора С определяется размерностями умножаемых векторов, длина этого вектора равна произведению модулей векторов А и В и синуса угла между ними, а проекции этого вектора находятся по правилу:

Для всех координат с заменой по циклу x => y => z => x получается одна и та же формула. Как видно, результат векторного произведения зависит от того, какой вектор берётся первым, а какой вторым. При перестановке местами векторов А и В получится вектор с противоположными по знаку координатами. [А В] = - [В А]. В частности, векторное произведение вектора на самого себя или на любой вектор, параллельный ему, равно нулю!

Правило правого буравчика (штопора, винта, шурупа...)
Для нахождения направления вектора С, равного векторному произведению А и В, можно пользоваться правилом «буравчика» или «правого винта» (а также шурупа, штопора, или любого другого предмета, который удобнее вспоминать). Пример использования векторного произведения: нахождение в соответствии с законом Био-Савара-Лапласа вектора индукции магнитного поля, создаваемого в пространстве, электрическими токами, текущими в проводах.

Сначала дадим определение самого «правого винта». Все мы видели часы или секундомер со стрелками и знаем, в каком направлении обычно эти стрелки вращаются. Если сверху смотреть на циферблат идущих часов, лежащих на столе, то видно, что стрелки вращаются, и направление их вращения так и называется – «вращение по часовой стрелке».

Расположим (мысленно) вдоль оси вращения стрелок часов ось винта (штопора, шурупа), уже ввинченного в гайку (или пробку). Начнем мысленно поворачивать его, причем вращать его будем так же, как вращаются стрелки вокруг своих осей вращения. Если этот винт (штопор, шуруп) «правый», то он начнет перемещаться по отношению к гайке (пробке) вниз. Если этот винт (шуруп ) начнет перемещаться вверх, то это «левый» винт.

Если движение концов ручки штопора, который изображен на фотографии, показать изогнутыми стрелками, то направление перемещения штопора вниз изображается крестиком внутри этих стрелочек:

Итак, правило «правого винта» для нахождения направления вектора С, равного произведению (векторному) двух векторов А и В:


1. Совместим мысленно начала умножаемых друг на друга векторов А и В.

2. Расположим правый винт так, что его ось будет перпендикулярна и вектору А, и вектору В.

3. Зафиксируем вектор В (второй в векторном произведении) и начнем по кратчайшему пути вращением совмещать вектор А (первый в векторном произведении) с вектором В (со вторым).

4. В этом же самом направлении будем вращать правый винт. Направление его перемещения и есть направление вектора С = [A B].

Задачи

1. Чему равна длина вектора, который начинается в точке (3,4,5), а заканчивается в точке (6,8,17)?

2. Чему равна длина вектора, равного сумме двух векторов, один из которых имеет длину 5 и направлен на север, а другой имеет длину 12 и направлен на запад?

3. Вектор А = (2,4,-5), а вектор В =(-3,2,4). Какие компоненты имеет вектор С, который равен С = 4А -3В?

4. Чему равно скалярное произведение двух векторов (2,3,5) и (3,-4,2)?

5. Угол между векторами А и В, лежащими в плоскости X,Y, равен 60 градусов. Скалярное произведение этих векторов равно 20. Вектор А = (1,2,0). Х-компонента вектора В равна 3. Какова Y-компонента вектора В?

6. Вектор А направлен на север (юг, восток, запад), а вектор В направлен вертикально вверх (вниз). Куда направлен вектор С = [A B]?