Принцип ферма

Принцип Ферма

Принцип Ферма. Переход от волновой оптики к геометрической оптике.

Рассмотрим переход от волновой оптики к так называемой геометрической оптике в условиях бесконечно малой длины волны.

Геометрическая оптика, отвлекаясь от волновой природы света, описывает его распространение света с помощью лучей. При этом поведение лучей (нормалей к волновым поверхностям) при выполнении условий определяется теми же законами, что и для волн с плоскими волновыми поверхностями. Таким образом, изучение траекторий световых лучей является главным заданием геометрической оптики.

Нахождение траекторий лучей в приближении геометрической оптики можно сформулировать как математическую задачу вариационного вычисления, если воспользоваться так называемым принципом Ферма. Впервые этот принцип сформулировал в середине XVII столетии (1679) Пер Ферма. Согласно к принципу Ферма свет распространяется от точки А к точке В по такой траектории, которая требует наименьшего времени распространения.

причем значение интегралf является минимальным вдоль траектории. Любой другой путь от точки А к точке В будет требовать большего времени. Поскольку под интегралом стоит оптическая длина пути, принцип Ферма можно сформулировать также как принцип кратчайшего оптического пути. Какой не обязательно совпадает с кратчайшим геометрическим путем между А и В, которым, как известно из геометрии есть прямая линия.

Допустимо, что среда между точками А и В является однородным, следовательно и не зависит от координаты. Тогда можно вынести показатель преломления за знак интегралу и при таких условиях принцип Ферма предусматривает прямолинейность распространения светового луча от А к В. Кратчайший геометрический путь в однородной оптически среде совпадает с кратчайшим оптическим путем и является прямой линией.

Однако, не так будет в оптически неоднородной среде, в которой показатель преломления тем или иным способом (непрерывно, или скачкообразно) изменяется от точки А к точке В. В такой неоднородной среде кратчайший оптический уже путь не будет прямой линией.