Понятие волновой функции. Принцип суперпозиции

Волновая функция

Понятие волновой функции. Принцип суперпозиции. Уравнение Шредингера и принцип причинности в квантовой механике

Первым основным понятием квантовой механики является понятие квантового состояния. Каждое квантовое состояние описывают с помощью некоторого вектора состояния (или так называемой волновой функции), который по предложению Дирака помечают символом. Вектор квантового состояния непосредственного физического содержания не имеет, и потому может быть комплексным. Комплексно спрягающий вектор состояния отвечает тому же квантовому состоянию.

Вектор состояния можно множить на произвольное комплексное число (комплексный скаляр) и получен таким путем новый вектор состояния также отвечает тому же квантовому состоянию системы.

Векторы состояния можно складывать, или даже складывать с комплексными коэффициентами (находить их суперпозицию, или другими словами линейную комбинацию) и в результате получить новое квантовое состояние той же системы.

Кроме складывания и умножения на комплексные числа, векторы состояний можно проектировать на другие векторы состояний, то есть определять скалярное произведение двух разных векторов состояния.

Причем скалярное произведение двух векторов состояния является, просто комплексным числом (комплексным скаляром). Скалярное произведение вектора состояния самого на себя есть, очевидно, позитивным вещественным числом, которое определяет квадрат нормы, или длины вектора состояния.

Такие векторы состояния называют нормируемыми векторами состояния. Разным состояниям отвечают векторы одинаковой единичной длины, то есть нормы, но неодинаково направлены в векторном пространстве состояний системы. Одинаково направленным векторам состояния разной длины (нормы), напротив, отвечает идентичное состояние квантовой системы (векторы и различаются лишь нормой).

Чрезвычайно важную роль в математическом аппарате квантовой механики играют так называемые собственные состояния и собственные значения операторов. Собственными состояниями называют такие состояния, которые не изменяют направления в пространстве состояний под действием оператора.

Иначе говоря, собственное состояние оператору не изменяется под его действием, поскольку вектор отличается от лишь нормой, но не направлением в пространстве состояний системы. Совокупность собственных значений оператору образует или дискретную совокупность (тогда говорят о дискретном спектре оператора), или непрерывный набор значений (тогда спектр оператора сплошной, или непрерывный), или, наконец, у оператора может быть частично непрерывный (полосатый), а частично дискретный спектр.

Рассмотрим вектор состояния отдельной квантовой частицы в так называемом координатном изображении (вектор состояния рассматривается как функция координат и времени). Тогда прямое физическое содержание имеет квадрат модуля этой комплексной функции.

Принцип суперпозиции, таким образом, квадрат модуля вектора состояния имеет физическое содержание плотности вероятности наблюдения квантовой частицы. Статистическая, вероятностная интерпретация векторов состояния (волновых функций) является особенностью квантовой механики, обсужденной выше. Уравнение Шредингера позволяет найти вектор состояния квантовой системы, если известны все взаимодействия системе.

Из математической точки зрения уравнения Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка в частичных производных, следовательно, оно может иметь огромное количество решений. Выделение из совокупности решений единственного решения, которое описывает вектор состояния квантовой системы, требует двух дополнительных уравнений. Первым из них можно считать уравнение, условие нормирования вектора состояния. Вторым уравнениям обычно бывает так называемое начальное условие - значение вектора состояния в определенный момент времени, который возлагают нулевым.

Принцип причинности в квантовой механике утверждает, что если известна силовая функция, то есть все взаимодействия в квантовой системе, а также ее начальное состояние, то есть функция, то из уравнения Шредингера можно найти вектор состояния на все следующие моменты времени, то есть. Другими словами, эволюция квантового состояния системы определяется ее начальным состоянием и физическими взаимодействиями в квантовой системе .