Метод анализа размерностей

Необходимой предпосылкой теории подобия является наличие математического описания рассматриваемого явления в виде дифференциальных уравнений и условий однозначности, на основании которых находится общий вид уравнений подобия. Но в ряде случаев изучение того или иного явления может быть настолько сложным, что для него невозможно создать замкнутую систему дифференциальных уравнений.

Вид чисел подобия, существенных для явления, и общий вид уравнения подобия можно подобрать и без составления дифференциальных уравнений. Это можно сделать с помощью метода анализа размерностей. В этом случае необходимо иметь полный перечень физических величин, существенных для рассматриваемого явления, то есть тех величин, которые вошли бы в дифференциальные уравнения и условия однозначности, если математическое описание процесса был известным. Перечень физических величин можно составить на базе общих физических соображений и приобретенного опыта.

Величины, числовое значение которых зависит от принятой системы единиц измерения, называются размерными. Длина, скорость, сила, время, энергия, температура и др.. могут служить примером размерных величин. Величины, числовые значения которых не зависят от используемой системы единиц измерения называются безразмерными. Разделение величин на размерные и безразмерные является условным. Например, ускорение обычно рассматривается как размерная величина, размерность которой является длина разделена на время в квадрате. Если ускорение свободного падения (9,81 м/с2) выбрать в качестве единицы измерения, тогда произвольное ускорение будет измеряться отношением его величины к величине ускорения свободного падения и не будет измеряться при переходе от одних единиц измерения в другие. Это отношение называется перегрузкой и является безразмерной величиной.

Зависимость единицы измерения произвольной величины от единицы измерения основных величин можно представить в виде формулы, которая называется формулой размерности. В разных системах единиц измерения размерности для одной и той же величины может иметь различный вид.

Во размерностью физической величины следует понимать выражение, отражает связь рассматриваемой величины с основными единицами системы, если коэффициент пропорциональности в этом выражении равен безразмерной единицы. Размерность физической величины зависит не только от природы этой физической величины, но и от выбора системы единиц.

Опыт показывает, что большинство размерностей можно выразить через размерности основных величин. Размерности, которые выражаются с определенными физическими уравнениями через основные величины, называют производными величинами. В теории теплообмена за основные принимаются: длину (размерность L), температуру (размерность ?), время (размерность Т) и массу (размерность М). Все другие размерности можно выразить через них.

Основным положением, которое используется в методе анализа размерностей при нахождении количества и вида чисел подобия, является аксиома о том, что добавляться и вычитаться могут только величины и комплексные величины, имеющих одинаковую размерность, а также то обстоятельство, что одни размерности выражаются через другие в виде их произведения с соответствующими степенями. На этих принципах оказывается, что произвольная физическая величина N если она является функцией величин А, В, С, ..., то эта зависимость может быть представлена ??в виде произведения этих размерностей в некоторых степенях а b, c, ..., и т. д. Числа подобия, полученные методом анализа размерностей, не всегда по форме совпадают с основными числами подобия, полученными на основе теории подобия. Но системы чисел подобия, полученные разными методами, эквивалентные между собой.

Таким образом, теория подобия и анализ размерностей является, по своей сути, разными методами одной и той же системы исследования, основанные на использовании обобщенных безразмерных переменных, разница между которыми обусловлена ??только объемом предварительных знаний об исследуемом процессе. Для применения теории подобия необходим большой объем предварительных знаний достаточен для вывода уравнений, которые определяют процесс. Если применение теории подобия возможно, ей стоит отдать предпочтение. В рамках теории подобия оказывается физический смысл чисел подобия. Если математическая постановка задачи невозможна, то применение анализа размерностей становится неизбежным. В этом случае не всегда есть уверенность в безошибочном составлении перечня существенных для процесса величин и правильности принятой системы размерностей. В тех случаях, когда перечень величин, существенных для процесса, и их связь с исходными размерностями установлено точно, метод анализа размерностей обеспечивает результаты, эквивалентные результатам, полученным с помощью теории подобия.