Условия подобия физических явлений

Рассматривая геометрическое подобие и сходство физических явлений, можно отметить для них некоторые общие положения и на этом основании сформулировать условия подобия физических явлений. В общем случае, по геометрического подобия и при сходстве физических явлений, сходство выражается одинаково и сводится к тождеству соответствующих безразмерных величин. При геометрической сходства это отрезки фигур, при сходстве физических явлений - различные физические величины.

При геометрической сходства фигуры, построенные в относительных величинах, получаются одинаковыми, а уравнения, описывающие эти фигуры в безразмерном виде - тождественны.

При сходстве физических явлений имеет место тождество полей относительных, безразмерных физических величин, построенных в безразмерных координатах и ??во времени. Тождественными будут и безразмерные уравнения этих полей. Тождество безразмерных уравнений полей физических величин в подобных явлений может быть только при тождества математических описаний этих физических явлений в безразмерном виде, так как уравнения полей физических величин является, по своей сути, решением дифференциальных уравнений, описывающих явление вместе с условиями однозначности.

Следовательно, условие подобия физических явлений выражается в тождестве математических описаний подобных явлений в безразмерном виде. Разница кроется только в смысле математического описания.

Математическое описание физического явления состоит из системы дифференциальных уравнений и условий однозначности. Поэтому названная выше условие сходства возможна только тогда, когда, во-первых, рассматриваемые явления относятся к одному и тому же классу явлений и описываются одним и тем же системой дифференциальных уравнений, и только в этом случае уравнение явлений могут быть тождественными в безразмерном виде. Во-вторых, когда условия однозначности рассматриваемых явлений качественно одинаковы, т.е. включают в себя те же физические величины и одни и те же уравнения определяют распределение этих величин в пространстве и времени. Только в этом случае во всех подобных явлениях условия однозначности содержат численно равны относительные физические величины и тождественные безразмерные уравнения, описывающие поля соответствующих величин в условиях однозначности. Это условие включает в себя и геометрическое подобие системы.

Теперь необходимо выявить условия, которые необходимо соблюдать, чтобы уравнения, описывающие явления одного и того же класса, были одинаковыми. Для этого рассмотрим процесс приведения дифференциальных уравнений к безразмерному виду.

Дифференциальные уравнения, которые определяют конвективный теплообмен, в принципе простые - каждое из них представляет собой совокупность физических эффектов, отражающих закон сохранения энергии или массы. Например дифференциальное уравнение теплопроводности представляет собой равенство количества теплоты, подведенной к элементу среды и изменению энтальпии этого элемента dQ = di. Дифференциальное уравнение движения отражает равенство всех сил, действующих на элемент среды, инерционной силе Fj = ?Fi. Следовательно, каждое дифференциальное уравнение может быть записано в общем виде, как алгебраическая сумма эффектов (сил, потоков теплоты и др..)

D1 + D2 + D3 + ... + Dn = 0. (5.3)

Составление дифференциальных уравнений представляет собой переход от сложных физических понятий - эффектов - к простым физических величин (плотность, температура, вязкость и др..), Т.е. выражает собой физические эффекты через физические величины. Например, составление дифференциального уравнения теплопроводности заклечаеться в переходе от уравнения в эффектах в виде dQ = di уравнению между физическими величинами в виде

 

Таким образом, каждый эффект в уравнении подается комбинацией физических явлений. Процесс определяется совокупностью эффектов и от этого влияние отдельных физических величин на процесс проявляется в их влиянии на всю комбинацию величин, характеризующих эффект. С отсюда можно сделать вывод, что процесс целесообразно исследовать в характерных для него комбинациях физических величин.

Привести дифференциальное уравнение (5.3) к безразмерному виду можно следующим способом. Разделив и умножив каждый член уравнения масштаб эффекта, который он выражает, можно его представить в виде

D = ПD,

где D - член уравнения, который содержит дифференциальный оператор, выражающий определенное физический эффект и такой имеющая размерность эффекта; П - масштаб эффекта, представленного членом D. Масштаб эффекта представляет собой комбинацию масштабных физических величин, которые имеют место в эффекте. Эта комбинация величин имеет эффекта. Физические величины, которые выполняют роль масштаба, целесообразно брать из условий однозначности, заданных при постановке задачи; d = D / П - член уравнения, который выражает относительный безразмерный физический эффект. Это тот же член D, только в относительных, безразмерных величинах.

 

Определяющие числа сходства состоят из величин, которые находятся в условиях однозначности. Поэтому они могут быть рассчитаны при постановке задачи, без ее решения или экспериментального исследования. Числа подобия выражают отношение масштабов двух определенных эффектов, существенных для явления. Количество чисел подобия, вытекающие из одного уравнения, на единицу меньше количества членов уравнения.

Безразмерное уравнение (5.5) справедливо только для тех процессов, относящихся к одному классу, для которых все числа подобия, входящих в этот безразмерного уравнения, численно равны. Итак, для того чтобы уравнение, описывающие явления одного класса, были одинаковыми в безразмерном виде, необходимо, чтобы одноименные числа подобия, которые имеют место в этих уравнениях, были численно равны. Поэтому равенство одноименных чисел подобия является условием сходства явлений, которые относятся к одному классу и имеют подобные условия однозначности.

Таким образом, для того чтобы физические явления были подобны, необходимо, чтобы:

явления были одного класса, то есть были одной физической природы и описывались одной системой дифференциальных уравнений;

условия однозначности явлений были качественно одинаковыми, т.е. включали в себя одни и те же физические величины и одни и те же уравнения описывали поля соответствующих величин;

одноименные определяющие числа подобия явлений были численно равны между собой. В отдельных случаях, когда те или иные эффекты не проявляются в процессе, некоторые числа подобия, содержащие масштабы этих эффектов, могут отсутствовать в уравнениях подобия. В таком случае наблюдается автомодельнисть явления по отношению к данному числу сходства. В уравнениях сходства, которые описывают процессы с одинаковыми условиями однозначности, отсутствуют параметрические числа подобия. Следовательно, наличие в уравнении параметрического числа подобия, например отношение размеров, свидетельствует о том, что это уравнение подобия учитывает определенную несходство систем.

Ко всему, что сказано о числах подобия, необходимо добавить, что вид чисел подобия, полученных из дифференциального уравнения, зависит от того, масштаб которого эффекта делим члены уравнения, когда приводим его к безразмерному виду. Но системы чисел подобия, полученные из одной и той же системы уравнений и условий однозначности, эквивалентные одна другой. Произвольная комбинация чисел подобия тоже числом сходства и может заменить в уравнении сходства одно из чисел подобия, которое входит в эту комбинацию. Этим правилом пользуются для исключения из числа подобия величины, не содержится в условиях однозначности. Это осуществляется путем сочетания двух чисел подобия, которые включают в себя эту величину. При этом количество чисел подобия уменьшается, так как полученное число сходства заменяет только одно число сходства. Сочетанием безразмерной переменной (аргумента или функции) с числом сходства можно заменить в безразмерной переменной на заданную в условиях однозначности масштабную величину комплексом других масштабных величин. Полученная при этом безразмерная переменная имеет вид числа сходства с той разницей, что содержит в своем составе переменную величину, в то время как число сходства состоят исключительно из постоянных величин, известных из условия задачи. Такие переменные, имеющие вид чисел подобия, нельзя использовать как признаки сходства, потому что их нельзя рассчитать к решению задачи. По этой причине их называют не определяющими числами подобия. Кроме этого, каждое относительное значение искомой величины при определенном значении определяющих чисел подобия, справедливо для многих сходных между собой случаев, так как одно и то же значение чисел подобия можно получить с помощью различных цифровых значений величин, входящих в него.

Таким образом, полученная на основе теории подобия форма представления решения системы дифференциальных уравнений в безразмерном виде позволяет: во-первых, сократить число аргументов, чем упрощает обработку опытных данных, и позволяет получить зависимость между величинами, во-вторых, обобщить данные единичного опыта или числового решения на множество подобных между собой случаев.

Основные положения теории подобия сводятся к трем теорем. Первая теорема утверждает, что в подобных явлениях все числа подобия (определяющие и не определяющие) должны быть численно равны. Вторая утверждает, что решение дифференциального уравнения можно представить в виде связи между числами подобия, полученных из этого уравнения. Третья теорема говорит, что явления подобны, если они имеют сходные условия однозначности и численно равны числам сходства, содержащих величины из условий однозначности (определяющие числа подобия). Эти теоремы отражают условия подобия и особенности подобных явлений, которые были рассмотрены нами.

Из рассмотренного следует, что теория подобия не дает решения, а только позволяет обобщать экспериментальные данные, указывая форму, в которой эти данные должны представляться. Итак, теория подобия является теорией эксперимента, и поэтому ее значение особенно велико для научных областей, основой которых является эксперимент или цифровое решение. Действительно в такой области относится и конвективный теплообмен.