Условия однозначности

Полученное дифференциальное уравнение (1.15) описывает множество явлений теплопроводности. Чтобы из бесконечного числа этих явлений выделить одно и дать его полный математическое описание, к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо добавить условия однозначности, которые включают в себя геометрические, физические, временные и граничные условия.

Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором происходит исследуемый процесс.

Физические условия задаются теплофизическими параметрами тела ?, cV и распределением внутренних источников теплоты.

Временные (начальные) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела. Граничные условия могут задаваться несколькими способами.

Граничные условия I рода. В этом случае задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

tст = f (Х ст, уст Zст, ?), (1.22)

где tст - температура поверхности тела Хв, уст Zст - координаты поверхности тела.

В отдельных случаях, когда температура на поверхности тела не изменяется во времени tст = f (Х ст, уст Zст), и если она постоянна на поверхности, то tст = const.

Граничные условия второго рода. В этом случае задается величина теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени, то есть

qст = f (Х ст, уст Zст, ?). (1.23)

В отдельных случаях, например при нагревании металлических изделий в высокотемпературных печах qст = const.

Граничные условия ИИИ рода. В этом случае задаются температуры среды tо и ??условия теплообмена этой среды с поверхностью тела.

Процессы теплообмена между средой и телом является исключительно сложными и зависят от многих факторов. Подробнее они рассмотрены во второй часок книги. Для описания интенсивности теплообмена между поверхностью тела и средой используется гипотеза Ньютона-Рихмана, согласно которой

qст = ? (tст - tо), (1.24)

где ? - коэффициент пропорциональности, названный коэффициентом теплоотдачи, Вт / (м2 · К).

Как видно из формулы (1.24), коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдается (или воспринимается) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной 1 град. При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, это значит, что изотермы непрерывно переходят из одного тела в другое, при этом градиенты температур в этих точках удовлетворяют условию (1.26)

Дифференциальное уравнение (1.15) вместе с условиями однозначности дают полное математическое формулирование конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может выполняться аналитическим, численным или исследовательским методами. В последнем случае используются методы подобия и аналогий.