Общая теория зенитных способов астрономических определений

Для зенитальных способов астрономических определений основным уравнением, которое связывает величину Z, измеряется с определяющими значениями ? и времени s (поправка часов u), является:
cos Z = sin ? sin ? + cos ? cos ? cos t (9.1).
в котором
t = Т + u - ? (9.2).
где Т - показания хронометра в момент наблюдения светила; ? - его прямое восхождение.
С помощью уравнения (9.1.) По измеренным зенитным дальностям можно решать задачи как совместного определения широты и времени, так и задачи их раздельного определения. В том и другом случаях задача определения величин ? и u значительно облегчается тем обстоятельством, что их приближенное значение бывает уже известным.
Наиболее общей задачей зенитальных способов является задача совместного определения широты и времени по измеренным зенитным дальностям светил.
При постановке общей задачи не накладываются какие - либо ограничивающие условия на выбор светил по зенитным дальностям и азимутам, кроме ограничений, обусловленных влиянием систематических инструментальных и рефракционных ошибок, а именно 10 ° <Z <60 °.
Вопрос установления выгодных условий наблюдений (условий выгодного выбора светил по зенитным дальностям и азимутам) для целей совместного или раздельного определения широты и времени получат свое решение в результате решения общей задачи.
Принципиально решение общей задачи может быть получено не менее чем из двух уравнений (9.1.). однако в общем случае измерения зенитных расстояний светил может выполняться при одном положении вертикального круга теодолита (КЛ или КП). В этом случае все измеренные зенитные расстояния светил получат дополнительную неизвестную поправку:
?Z = ? = const (9.3).
за неправильный места зенита Мz и другие систематические погрешности, общие для группы звезд, поэтому в уравнении (9.1.) будет три неизвестных величины ?, u и ?.
При этом условии решение общей задачи может быть получено минимум из трех уравнений (9.1.), Т.е. данным наблюдений в крайнем случае трех светил.
Однако необходимо отметить, что уравнения систем тригонометрических уравнений (9.1.) В конечном виде очень сложный и не может иметь практического значения.
Задача значительно упрощается, если есть приближенные значения ?0, u0 и МZ0, с помощью которых решаются линейные уравнения поправок, вытекающих из выражения (9.1.).
Имея в виду, что
? = ?0 + ? ? (9.4).
и
tи = тные + u0 + ? u + ? (ТНИ - Х) - ?и = t 0 и + ? u (9.5).
где
t 0 и = тные + u0 + ? (ТНИ - Х) - ?и (9.6).
Разложим выражение для Z, представленный формулой (9.1.), В ряд Тейлора по степеням ?? и ?u. В практике астрономических определений значения ?? и ?u могут быть приняты очень малыми. Поэтому при разложении в ряд вполне достаточно для практических целей ограничиться линейными членами.

Поправка хронометра U относительно гринвичского звездного времени выводится с высокой точностью из приема радиосигналов точного времени и не зависит от долготы места наблюдения. Очевидно, d? = du, т.е. определяем значение поправки ?u до приближенного значения u0 в уравнениях поправок может быть заменено равным ему значением поправки ?? принятой при вычислениях приближенной долготы пункта ?0.
Уравнение поправок в этом случае имеет вид:
- R + cos Аи ? ? + 15 cos ?0 sin Аи и ? ? + lи = ?и (9.15).
В дальнейшем, в зависимости от задачи, которая требует решения, будем пользоваться уравнениями (9.12.) Или (9.15.).
Из уравнений (9.15)., (9.12.) Следует, что совместное определение r, ? ? и ?u возможно только при наблюдениях светил в разных вертикалях. Если измерения зенитных расстояний светил выполнены в плоскости одного вертикала, то в крайней мере в двух уравнениях из трех коэффициенты будут пропорциональны. Определитель такой системы будет равен нулю, а сама система - не решаемой.
В общем случае решение задачи совместного определения ? и u (?) выполняется по наблюдениям не трех а n светил.
Если выполнены измерения зенитных расстояний n светил в разных вертикалях, причем n> 3, то для определения трех неизвестных будем иметь избыточное число n - 3 уравнений.
Из решения системы n уравнений вида (9.12). Или) по методу наименьших квадратов найдем вероятны значения величин, определяемых и можем оценить точность их вывода.
Если предыдущие координат отличные от их истинных значений не более чем на 1 - 1,5, то влияние членов разложения высших порядков можно пренебречь по малости. С указанной точностью предыдущие координат можно снять уверенно с карты масштаба 1:1000000 и крупнее.
Практически значение зчислимих координат можно получить с точностью до нескольких секунд дуги каким - либо из приближенных способов, которые будут рассмотрены позже.
В том случае, когда предыдущая значения координат известны с погрешностью, не превышающей 10, коэффициенты при неизвестных в уравнениях поправок достаточно иметь до трех значащих цифр. При этом погрешность уравновешенных значений неизвестных не превысит 0,03.