Элементы сферической геометрии

Сферическая геометрия

Элементы сферической геометрии

Проведение астрономических наблюдений и дальнейший анализ полученных результатов очень часто требуют перехода от одной из выше перечисленных систем небесных координат к другой. Все нужны для этого формулы получены путем развязывания сферических треугольников.

Сферический треугольник - это фигура на сфере, образованная дугами трех больших кругов. Поэтому в сферической тригонометрии дуги АВ, ВС, АС измеряют в градусах. Для выведения нужных соотношений к сторонам АВ и АС в точные А проводим касательные к их пересечению с продолжением радиусов сферы ОВ и ОС в точках D и Е. Приняв радиус сферы за единицу, получаем - *D = tgc, OD or sec с, Л? - tg b, 02=sec b. Напомним, что, как и о плоской тригонометрии, углы треугольника обозначаются буквами А, Из, С, а противоположные им стороны - а, Ь, с.

При выведении нижеприведенных формул принимается, что стороны b и с треугольника ABC меньшие от 90°. Для определения (и дальнейшего исключения) отрезка DE дважды (из рассмотрения треугольников ADE и DOE) используют теорему о квадрате стороны, которая лежит против острого угла.

cos a=cos b cos c - bsin b sin с cos Л;

формулу синусов

sin a sin В = sin b sin A;

формулу пяти элементов

sin a cos B = cos b sin с - sin b cos с cos A.

С помощью колової перестановки (замены a ->bt b - c, с-*но и соответственно А-^-В, В->-С, С-*-А) такие же выражения получаем и для двух других сторон и соответствующих им углов.

Приведены здесь формулы существенно упрощаются, если один из углов равняется 90°.