Одноатомная цепочка - примерРассмотрение свойств колебаний кристаллической решетки лучше начать с нескольких простых случаев. Простейший из них - это колебания линейной цепочки. Линейная цепочка моделирует одномерную «решетку», в которой на каждую элементарную ячейку приходится один атом, и взаимодействуют лишь ближайшие соседи. Уравнения движения легко выписать явно. Пропорциональность частоты волновому числу аналогична хорошо известному свойству обычных упругих волн в сплошной среде. Если длина волны возмущения гораздо больше постоянной решетки, то цепочка атомов ведет себя подобно «тяжелой упругой струне» в классической механике.

Если рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения у, то наряду с волной, распространяющейся вдоль положительной оси х, будут волны, бегущие в противоположном направлении (<у<0). Наконец, если учесть, что уравнение колебания струны линейны, так что сумма решений является также интегралом уравнения, то во многих случаях представляется математически более удобным пользоваться комплексной формой решения в виде: и(х, t)=A[cos(c/x-c0f) где амплитуда А может быть комплексным числом. Бегущая волна в непрерывной струне обладает двумя особенностями, существенно отличающими ее от волн, распространяющихся в дискретных атомных цепочках. Во-первых в непрерывной струне, абсолютная величина волнового числа q может принимать все значения от 0 до 00, при этом каждому значению q соответствует определенная форма волны. Во-вторых, частота со, также может изменяться от О до 00 (vo - скорость распространения волны).

В случае цепочки одинаковых атомов при больших значениях q скорость волны не остается постоянной. При q = 7iat т.е. когда длина волны равна 2а, функция v4 имеет горизонтальную касательную. В этом отклонении от линейной зависимости проявляется свойство, называемое дисперсией.


Загрузка...
Яндекс.Метрика Google+